La Mathérnatique Non-Standard ; histoire, philosophie, dossier scientifique

Note de lecture par LE MOIGNE Jean-Louis

La Mathématique Non-Standard, ou l'Analyse Non-Standard, va sans doute servir d'étendard aux tenants des jeunes-turcs de la modélisation mathématique se penchant à la fois sur son passé (récent mais oublié, les "Intuitionnistes" de Brouwer ayant été jadis vaincus par les "formalistes" de Hilbert) et sur ses fondements (épistémologiques pour les uns, métaphysiques pour les autres). Dès lors l'A.N.S. va souvent passionner les chercheurs des nouvelles sciences de la complexité, leur faisant entrevoir quelques "ouvertures" dans les "fermetures ensemblistes" auxquelles le bourbakisme dans lequel ils ont été formés croyait devoir réduire la modélisation mathématique (et donc la modélisation tout court).

Ce dossier produit par l'équipe CNRS "Fondement des Sciences" de Strasbourg va nous donner sous une forme vivante et documentée les pièces de base de l'A.N.S. : il introduit ainsi fort bien les quelques textes produits ces toutes dernières années et que nous commençons à découvrir (le colloque de Cerisy sur "le labyrinthe du continu", 1992 ; ou le recueil établi par J. Largeault : "Intuitionnisme et théorie de la démonstration", Vrin, 1992) : quelques ingrédients de la pâte dans laquelle fermentent aujourd'hui les sciences de la modélisation de la complexité nous deviennent de plus en plus aisément accessibles.

Ce dossier de l'équipe "Fondement des Sciences" me semble particulièrement bienvenu parce qu'il publie un texte "d'épistémologie mathématique" rédigé par les pionniers français de la Mathémadque Non Standard, J. Harthong et G. Reeb, connu sous le titre "Intuitionnisme 84" (et remanié en 87, et complété par un commentaire de 87). Pour l'essentiel il s'agit de restaurer "un point de vue oublié", celui que développait l'intuitionnisme (et le constructivisme) de L.J. Brouwer. Un point de vue idéologique, certes (disons plutôt : épistémologique), dont la légitimité scientifique et la pertinence pédagogique apparaissent ainsi intelligibles et parfois séduisantes. Un bon texte de référence nullement austère (qui nous réconciliera avec la prétention des mathématiques à l'évidence telle que l'affiche la démonstration du théorème 8.3. d'E. Nelson publiée page 392-3, que je résiste au plaisir sarcastique de recopier : allez donc voir sur pièce !). Vivant, polémique, argumenté, documenté... un modèle du genre d'article (d'épistémologie) mathématique que l'on aime lire. Mais cet enthousiasme ne nous rendra pas naïf : reprenant l'argument central de la discussion du Principe du Tiers Exclu de L.J. Brouwer, J. Hartong et G. Reeb soulignent à juste titre "l'ambiguité" de l'énoncé habituel de ce principe. ("P est ou vrai ou non-vrai"), en observant que l'on ne s'est pas entendu sur le sens des mots vrai et faux. Mais leur tentative pour proposer un énoncé de ce principe "sans présupposé implicite ou inavoué que Brouwer aurait admis sans hésitation" me laisse perplexe, introduisant le concept bien ambigu de "contradictoire" (et donc de significatif) pour évaluer la "vérité" d'une proposition qu'on ne connaîtrait que par sa forme ("P"), et qui ne dirait donc rien de sa, ou de ses "significations" (p. 215-6). Aristote n'avait-il pas bien vu cette ambiguité en ne parlant que de néant, ou de négation plutôt que de contradiction (Non-blanc serait-il nécessairement noir parce que le sens habituel de noir est d'être le contraire de blanc ?). Cette incidente sur l'ambiguité de la contradiction n'affecte en rien au demeurant l'argument de Brouwer que "reconstruisent" fort bien Harthong et Reeb, qui est de reconnaître "le rôle joué dans la mathématique par la méthode constructive" (p. 219). Et ce rôle est susceptible de nous intéresser chaque fois que nous nous efforçons de donner du sens aux perceptions complexes que nous nous forgeons de nos relations à l'Univers !

J.L.M.